확률질량함수(PMF), 확률밀도함수(PDF), 누적분포함수(CDF)

 

 

 

 

 

 

 

확률질량함수(PMF), 확률밀도함수(PDF), 누적분포함수(CDF)

확률분포를 다룰 때, 자주 헷갈리는 두 개념이 바로 확률질량함수(PMF)와 확률밀도함수(PDF)입니다.

두 개념은 비슷해 보이지만 이산형 변수와 연속형 변수를 구분하여 사용해야 하며, 의미와 사용 방법도 크게 다릅니다.

 

 

 

 

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핵심 차이 요약

항목	확률질량함수 (PMF)	확률밀도함수 (PDF)
적용 대상	이산 확률 변수	연속 확률 변수
예시	주사위, 동전, 학생 수	키, 몸무게, 시간
정의	특정 값 $x$가 나올 확률을 직접 계산	특정 구간 $(a \le X \le b)$에 속할 확률을 계산
수식	$P(X = x)$	$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)dx$
특징	각 값의 확률을 더하면 1	전체 면적(적분값)이 1
그래프 형태	막대 그래프 (discrete bars)	연속 곡선 (smooth curve)

• 모두 "확률 분포"를 나타내는 함수인데, 다루는 자료의 종류(이산형 vs 연속형)에 따라 다르게 사용된다.

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💡 더 쉽게 이해하기

1. PMF (확률질량함수)

• PMF는 말 그대로 "어떤 값이 나올 확률"을 직접 알려줍니다.
• 예: 주사위에서 3이 나올 확률은 P(X = 3) = 1/6

2. PDF(확률밀도함수)

• PDF는 특정한 정확한 값의 확률은 0이고, 대신 구간의 확률을 면적으로 계산합니다.
• 예: 어떤 사람의 키가 정확히 175.000000cm일 확률 = 0
• 하지만 174.5cm ~ 175.5cm 사이일 확률은 ∫₁₇₄.₅¹⁷⁵.₅ f(x) dx

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확률질량함수(PMF) - 주사위 던지기 예시

• 확률 변수 $X$: 주사위를 던졌을 때 나오는 눈의 수
• 가능한 값: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ (이산형)
• 각 값의 확률: $P(X = x) = \frac{1}{6}$

 

수식 표현

$$
P(X = x) =
\begin{cases}
\frac{1}{6}, & x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6} \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

 

Python 시각화

위 그래프는 주사위를 던지는 경우를 나타냅니다.
주사위 눈이 나올 수 있는 경우는 각 1부터 6까지가 있고, 각 확률은 $1/6$ 입니다.

import matplotlib.pyplot as plt

x = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
prob = [1/6] * 6

plt.bar(x, prob, color='skyblue')
plt.title("PMF: dice")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("P(X = x)")
plt.ylim(0, 0.2)
plt.grid(axis='y', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.show()

 

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확률밀도함수(PDF)

확률밀도함수(PDF)는 연속 확률 변수의 분포를 설명하는 함수로,
특정 값이 나올 확률의 밀도를 나타냅니다.

연속형 변수에서는 어떤 한 값을 정확하게 맞출 확률은 항상 0입니다.

하지만, 구간을 지정하면 그 안에 포함될 확률은 존재합니다.

즉, f(x)는 그 지점에서의 "확률의 진하기"라고 볼 수 있습니다.

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PDF의 성질

1. $f(x) \ge 0$ (모든 x에 대해 음수가 될 수 없음)
2. 전체 면적은 1
3. $f(x)$는 확률이 아니라 확률 밀도입니다.
   → 따라서 $f(x)$가 2, 3 등 1보다 커질 수도 있습니다.

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대한민국 성인 남성의 키 예시(PDF)

• 확률 변수 $X$: 대한민국 성인 남성의 키 (cm)
• 평균 (μ): 173cm
• 표준편차 (σ): 5cm
• 분포: 정규분포 $N(173, 5^2)$

 

의미

• $f(x)$는 x 근처에서 키가 나올 확률의 밀도를 나타냄
• $P(X = 173) = 0$ → 한 점의 확률은 0
• $P(170 \le X \le 175)$ → 이 구간에 들어올 확률은 존재

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Python 시각화

• 파란색 선이 PDF: f(x) 를 나타냅니다.
• f(x)는 해당 x구간에서 얼마나 밀도가 몰려있는지를 나타냅니다.

 

⚠️ 주의: $f(x)$는 확률이 아님

$f(173) = 0.0798$이라면

173cm에서의 확률 밀도는 0.0798이지만,

정확히 173cm일 확률은 0입니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 평균과 표준편차
mu = 173
sigma = 5

# x 값: 150cm ~ 195cm
x = np.linspace(150, 195, 1000)
pdf = norm.pdf(x, loc=mu, scale=sigma)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x, pdf, color='blue', label='PDF')
plt.fill_between(x, pdf, alpha=0.2)
plt.axvline(mu, color='red', linestyle='--', label='평균 키 173cm')
plt.title("대한민국 성인 남성 키의 확률밀도함수 (PDF)")
plt.xlabel("키 (cm)")
plt.ylabel("밀도 f(x)")
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

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누적분포함수(CDF)란?

누적분포함수(Cumulative Distribution Function, CDF)는
확률변수 $X$가 특정 값 $x$ 이하일 확률을 나타내는 함수입니다.

$$
F(x) = P(X \le x)
$$

 

예시

PDF 에서 사용한 대한민국 남성의 키 분포를 그대로 사용하겠습니다.

$F(175) = 0.755$ 이라면 → X가 175 이하일 확률이 75.5%

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CDF와 PDF의 관계

CDF는 PDF를 적분한 함수입니다.

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t), dt$$

반대로,
PDF는 CDF를 미분한 함수입니다.

$$f(x) = \dfrac{d}{dx} F(x)$$

즉, PDF는 순간적인 변화량,
CDF는 확률이 누적되어 쌓인 총합 개념입니다.

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실생활 예시: 대한민국 성인 남성의 키

• 평균: 173cm
• 표준편차: 5cm
• 분포: 정규분포 $N(173, 5^2)$

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Python으로 PDF vs CDF 시각화

파란색 선이 PDF(밀도) 고 초록 선이 CDF(누적) 입니다.

PDF 는 순간적인 밀도의 진한 정도를 나타내고,

CDF는 쌓인 누적 확률입니다.

그래서, PDF를 적분하면 CDF, CDF를 미분하면 PDF가 됩니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 평균과 표준편차
mu = 173
sigma = 5

x = np.linspace(150, 195, 1000)
pdf = norm.pdf(x, loc=mu, scale=sigma)
cdf = norm.cdf(x, loc=mu, scale=sigma)

plt.figure(figsize=(12, 5))

# PDF
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, pdf, label='PDF', color='blue')
plt.fill_between(x, pdf, alpha=0.2)
plt.title("확률밀도함수 (PDF)")
plt.xlabel("키 (cm)")
plt.ylabel("밀도 f(x)")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.legend()

# CDF
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x, cdf, label='CDF', color='green')
plt.title("누적분포함수 (CDF)")
plt.xlabel("키 (cm)")
plt.ylabel("누적 확률 F(x)")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

 

 

2025.04.03 - [Data] - LS 빅데이터 스쿨 / 정규분포와 t분포 / Python

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