정규분포와 t분포 / Python

 

 

 

 

 

가설검정이란?

가설검정(Hypothesis Testing)은 통계학에서 어떤 주장이나 가설이 옳은지를 데이터 기반으로 판단하는 절차입니다. 주어진 데이터로부터 모집단의 특성을 추정하고, 이 추정값을 바탕으로 기존에 세운 주장(귀무가설)이 타당한지를 검정합니다.

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절차

1.귀무가설(H0) 설정: 기존의 주장 혹은 변화가 없다는 가정

2.대립가설(H1) 설정: 새롭게 주장하고 싶은 가정

3.검정통계량 계산: 관측된 데이터로부터 검정통계량을 구함

4.p-value 계산: 귀무가설 하에서 관측값보다 극단적인 결과가 나올 확률

5.판단: p-value가 유의수준보다 작으면 귀무가설 기각

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정규분포와 t분포

정규분포 (Normal Distribution)

• 연속확률분포의 대표적인 분포
• 평균 μ, 표준편차 σ를 모수로 가짐
• 중앙에 봉우리가 있는 종 모양(Bell-shaped curve)

정규분포에서 자주 쓰이는 중요한 python 함수

from scipy.stats import norm

# 확률 밀도 함수 (PDF)
norm.pdf(x, loc=μ, scale=σ)

# 누적 분포 함수 (CDF)
norm.cdf(x, loc=μ, scale=σ)

# 분위수 함수 (PPF)
norm.ppf(p, loc=μ, scale=σ)

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t분포 (t-distribution)

• 표본의 수가 작고, 모분산을 모를 때 사용하는 분포
• 정규분포보다 꼬리가 두꺼움 → 극단적인 값이 나올 확률이 큼
• 자유도(df)에 따라 모양이 달라지며, df가 커질수록 정규분포에 가까워짐

python 에서 사용하는 법

from scipy.stats import t

 

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정규분포 t분포 차이 비교

구분	정규분포	t분포
사용조건	모분산을 아는 경우	모분산을 모르는 경우 (특히 n<30)
분포모양	꼬리가 없음	꼬리가 두꺼움
자유도	없음	df = n - 1
샘플 수 증가 시	그대로	정규분포에 수렴

 

검정 점선은 정규분포의 PDF 입니다.

노란색과 파란색 실선은 t분포를 나타냅니다.

t분포는 자유도가 커질수록 (표본의 크기가 커질수록) 정규분포의 형태와 비슷해집니다.

 

t분포의 자유도가 30이 되니깐 정규분포의 형태와 거의 같아진 모습을 볼 수 있습니다.

 

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가설검정 예시

커피숍의 커피 온도 검정 (정규분포)

어떤 커피숍은 본인들의 커피의 평균 온도가 75도라고 주장합니다.

(단, 이때 모 표준편차는 1.2 입니다.)

이를 의심한 소비자가 10잔의 온도를 측정한 결과는 다음과 같습니다.

x = np.array([72.4, 74.1, 73.7, 76.5, 75.3, 74.8, 75.9, 73.4, 74.6, 75.1])

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Step 1. 가설 설정

• H0: 평균은 75도이다.
• H1: 평균은 75도가 아니다.

우리가 검정하고 싶은 사실을 대립가설 (H1) 로 설정합니다.

즉, 우리는 커피온도가 평균 75도가 아니라는 사실을 증명하고 싶습니다.

귀무가설은 통용되는 사실로 그대로 둡니다.

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Step 2. 검정통계량 계산 (모분산을 알 때 → Z검정)

$$
z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}
$$

$\mu$: 모평균 (75)

$\bar {x}$: 표본 평균 (x.mean())

$\sigma$: 모표준편차 (1.2)

${n}$: 표본의 크기 (10)

위의 수식을 파이썬 코드로 나타내 봅시다.

z = (x.mean() - 75) / (1.2 / np.sqrt(10))

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Step 3. p-value 계산

from scipy.stats import norm

p_value = norm.sf(abs(z)) * 2

• norm.sf() 는 1 - cdf 를 한 결과입니다.
• 즉, 오른쪽 꼬리 확률을 의미합니다.
• 양측 검정을 하기 때문에 * 2를 해줍니다.

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Step 4. 판단

p_value < 0.05  # False → 귀무가설 기각 불가

색칠된 영역에 z 값이 속한다면 H0을 기각할 수 있게 되지만, z 는 해당 영역에 속하지 않는 것을 볼 수 있습니다.

즉, 평균은 75도가 아니다. 라고 말할 수 있는 통계적 증거가 없습니다.
결국, 커피의 온도가 75도라고 할 수 있게 됩니다.

 

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커피숍의 커피 온도 검정 (t분포)

 

🔍 t분포는 언제 사용하나?

1. 모집단이 정규분포를 따른다고 가정

2. 모분산을 모름 (표본에서 구한 표준편차 이용해서 추정)

 

x = np.array([72.4, 74.1, 73.7, 76.5, 75.3, 74.8, 75.9, 73.4, 74.6, 75.1])
n = len(x)

# 1. 가설 설정
# H0: 모평균이 75도씨이다.
# H1: 모평균이 75도씨가 아니다.

# 검정통계량 계산
t_stat = (x.mean() - 75) / (x.std(ddof=1) / np.sqrt(n))

# pvalue 계산
p_value = t.cdf(t_stat, df=n-1)
p_value = p_value * 2  # 양측검정이니까 2를 곱해준다.

p_value < 0.05  # False
# p-value가 0.05보다 작지 않으므로 귀무가설을 기각할 수 없다.
# 즉, 모평균이 75도씨라고 주장할 수 있다.

 

t분포를 사용해도 여전히 기각되지 않는 모습을 볼 수 있습니다.

 

정규분포와 t분포를 사용해서 가설 검정을 해보았습니다. 

하지만, 나의 데이터가 어떤 분포를 따르고 있는지 모를 땐 어떻게 해야할까요?

나의 데이터가 정규분포를 따르고 있는지 검증하고 싶을 땐 어떻게 할까요?

해당 내용은 아래 포스팅에 있습니다.

 

2025.04.04 - [Data] - LS 빅데이터 스쿨 / 정규성 검정 / Shapiro-Wilk / Anderson-Darling / Kolmogorov–Smirnov / Q-Q Plot

LS 빅데이터 스쿨 / 정규성 검정 / Shapiro-Wilk / Anderson-Darling / Kolmogorov–Smirnov / Q-Q Plot